Volúmen formado por dos circunferencias

 

Debo demostrar: dos cicunferencias al ser rotadas con respecto al eje Y o X, calcular el volumen formado por la intersección de esas esferas que se forman.
Algún consejo?
Se debe hallar la distancia entre los centros ?

Novato Enviada el 11 de agosto de 2018 a Integrales sobre superfícies.
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2 Respuesta(s)

Hola.

Disculpa el retraso. Creo que todos los que solemos responder preguntas nos hemos tomado las vacaciones de verano muy en serio. Ya de vuelta en mi rutina laboral intentaré sacar un ratito cada día para ayudar todo lo que pueda.

Normalmente para hallar el volumen entre dos esferas se necesitan las expresiones matemáticas de esas esferas. Pero parece que en tu enunciado dispones de dos circunferencias que rotan ¿respecto al eje X o al eje Y? Si una circunferencia rota alrededor de un eje, el volumen que se genera no es necesariamente una esfera, sino un “toro”. Para que quede una esfera la circunferencia tiene que estar centrada sobre algún punto  del eje.

Por otro lado, si tienes dos circunferencias y las rotas respecto al eje X y al eje Y tienes en total 4 volúmenes, no 2.

Al enunciado que propones le falta información. No queda claro. ¿Puedes adjuntar una fotografía del enunciado?

Saludos

Maestro Respuesta escrita el 15 de septiembre de 2018.

Tienes razón la he formulado muy mal, imagina que tengo dos esferas de igual radio, que se han intersectado y formado un volumen entre ellas, cómo calcular ese volumen SIN USAR INTEGRALES DOBLES!!! Porque así es muy fácil. Ese es el reto pero no he podido llegar a una solución.

StKirk Novato el 17 de septiembre de 2018.
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Solución

Hola:

Se puede calcular sin usar integrales dobles si calculas los volúmenes necesarios considerando la esfera como una circunferencia que rota sobre el eje x.. El volumen que queda entre las dos esferas es el de dos casquetes esféricos del mismo radio y la misma altura:

RE: Volúmen formado por dos circunferencias

El radio es R, y mirando el dibujo se ve que la altura del casquete es R-d/2, donde d es la distancia entre los dos centros. Para calcular el volumen del casquete se utiliza que es el cuerpo de revolución generado por una función circular al rotar sobre el eje x entre el extremo:

RE: Volúmen formado por dos circunferencias

Para recordar el volumen de una función que gira alrededor del eje x yo utilizo una deducción un poco informal que consiste en interpretarlo como la suma, o integral, de volúmenes infinitesimales de discos. Si miramos un punto de una función y avanzamos diferencial de equis en una dirección, la función incrementa f'(x)*dx a primer orden de aproximación. El volumen que hay debajo de ese trozo de función es un rectángulo de altura f(x) y base dx más un trocito triangular que corresponde al aumento de la función, que tendrá volumen 1/2*f'(x)*dx*dx. Este último trozo es de segundo orden, con lo que lo despreciamos y consideramos que la función cuando gire dará lugar a un disco de altura constante f(x) y grosor dx, que tendrá un volumen pi*f(x)^2*dx. Por tanto, el volumen de revolución es:

RE: Volúmen formado por dos circunferencias

Aplicado al casquete, si llamamos h a la altura:

RE: Volúmen formado por dos circunferencias

Sustituyendo que la altura es R-d/2, tenemos el resultado final:

RE: Volúmen formado por dos circunferencias

 

Ayudante Respuesta escrita el 1 de octubre de 2018.
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